Catatan Ngaji Mantiq #8: Proposisi dan Ekuivalensi

Dalam mantiq, proposisi (atau pernyataan yang memiliki kemungkinan benar/salah) disebut dengan istilah “qadhiyyah” dan dibagi menjadi tiga jenis.

Pertama, proposisi atributif (qadhiyyah hamaliyyah), yang biasa didefinisikan sebagai proposisi yang menisbahkan suatu hal kepada hal lain, seperti dalam contoh ‘Zaid tampan’. Dalam contoh ini, sifat tampan dinisbahkan kepada Zaid. Demikian pula sebaliknya, proposisi ‘Zaid tidak tampan’ menisbahkan ketiadaan sifat tampan pada Zaid. Pemahaman mudahnya: proposisi atributif ialah kalimat yang minimal tersusun dari subjek (maudhu’) dan predikat (mahmul). [Maudhu’-mahmul adalah istilah yang dipakai dalam mantiq. Dalam nahwu, istilahnya berbeda. Bila kalimatnya nominal, subjek-predikat diistilahkan dengan mubtada’-khabar; dan bila kalimatnya verbal, subjek-predikat diistilahkan dengan fa’il-fi’l.]

Kedua, proposisi kondisional konjungtif (qadhiyyah syarthiyyah muttashilah), yakni proposisi yang menentukan ada/tiadanya hubungan antara satu proposisi dengan proposisi lain secara konjungtif. Contoh: jika matahari tenggelam, (maka) hari sedang malam. Proposisi ini menggabungkan proposisi ‘matahari tenggelam’ dan ‘hari sedang malam’ dengan hubungan yang, dalam istilah logika modern, disebut ‘implikasi’. Nahwu menyebutnya dengan hubungan syarat-jawab. Mantiq menyebutnya dengan hubungan muqaddam-tali. Logika modern mengistilahkannya dengan hubungan anteseden-konsekuen dan dinotasikan dalam bentuk p → q (baca: ‘jika p maka q’). Mudahnya: hubungan jika-maka.

Ketiga, proposisi kondisional disjungtif (qadhiyyah syarthiyyah munfashilah), yakni proposisi yang menentukan ada/tiadanya hubungan antara satu proposisi dengan proposisi lain secara disjungtif. Contoh: angka adalah ganjil, atau genap. Contoh ini adalah gabungan dua proposisi, yakni ‘angka adalah ganjil’ (sebagai muqaddam) dan ‘angka adalah genap’ (sebagai tali). Dalam bahasa Arab, kata yang sering dipakai untuk disjungsi ialah “imma… aw…”, sedangkan dalam bahasa Inggris, kata yang sering dipakai ialah “either… or…”. Dalam logika modern, disjungsi dinotasikan dalam bentuk p ∨ q (baca: p atau q).

Sebagai catatan tambahan: kalimat ‘angka adalah ganjil, atau genap’ dalam contoh di atas sebenarnya bisa diubah dalam bentuk kondisional konjungtif dan akan berbunyi ‘jika angka bukan ganjil, (maka) ia genap’, yang bila dinotasikan akan menjadi ¬p → q (baca: ‘jika bukan p maka q’). Jadi, rumus p ∨ q bernilai sama (ekuivalen) dengan rumus konjungtif ¬p → q.

Disjungsi dibagi menjadi dua: eksklusif dan inklusif. Contoh disjungsi eksklusif: manusia hidup, atau mati. Dalam mantiq ini disebut dengan mani’atul-jam’i wal-khuluww ma’an (arti literal: mencegah kombinasi dan kekosongan sekaligus), sebab manusia tidak mungkin hidup dan mati pada saat yang sama, dan tidak mungkin lepas dari kategori hidup atau mati. Bisa dikatakan, pemilahan kondisi manusia antara hidup dan mati bersifat biner. Dalam logika modern, disjungsi eksklusif dirumuskan dalam bentuk p ∨ q (baca: ‘hanya p atau hanya q’).

Contoh disjungsi inklusif: puasa ada yang wajib atau sunnah. Ini disebut inklusif sebab ada jenis puasa lain di luar dua kategori itu, seperti puasa yang dilakukan pada hari raya (Idulfitri dan Iduladha) yang haram hukumnya.

Dalam mantiq, disjungsi inklusif dibagi menjadi dua lagi. Pertama, mani’atul-khuluw faqath (mencegah kekosongan saja). Contoh: seorang mukmin bisa mendapat pahala di dunia atau akhirat. Kedua pilihan ini bisa dikombinasikan, tapi seorang mukmin tidak bisa tidak mendapat pahala di salah satu dari dunia atau akhirat. Kedua, mani’atul-jam’i faqath (mencegah kombinasi saja). Contoh: hari ada yang pagi atau sore. Hari tidak bisa pagi atau sore sekaligus, tapi bisa keluar dari kategori ini (malam, misalnya).

Kategorisasi proposisi ini penting perannya nanti ketika sampai pada bahasan mengenai silogisme. Sekadar contoh ringkas untuk sementara ini, kita bisa ambil satu misal dari bentuk proposisi kondisional disjungtif: ‘alam semesta ada tanpa mula (qidam) atau bermula (hadits)’.Ini merupakan jenis disjungsi eksklusif. Artinya, bila satu salah, maka alternatifnya benar. Dalam argumentasi yang melibatkan proposisi yang demikian, kita cukup merumuskan argumen yang bisa meruntuhkan satu pilihan untuk bisa menyatakan mana yang benar. Dalam contoh alam semesta itu, kita bisa menyatakan bahwa alam semesta bermula cukup dengan meruntuhkan argumen yang menyokong tesis bahwa alam semesta ada tanpa mula.

***

Di samping dari segi susunannya, proposisi juga dibagi menjadi dua dasar pembagian lain. Dari segi ada/tiadanya negasi, mantiq membagi proposisi menjadi afirmatif (mujibah) dan negatif (salibah). Dari segi cakupan subjeknya, mantiq membagi proposisi menjadi universal (kulliyyah) dan partikular (juz’iyyah). Dengan demikian, kita mendapat empat jenis proposisi dari dua dasar pembagian itu, yakni:

• Proposisi universal afirmatif (qadhiyyah kulliyyah mujibah). Rumus: semua S (subjek) adalah P (predikat). All S are P. Disimbolkan dalam logika klasik dengan A.
• Proposisi partikular afirmatif (qadhiyyah juz’iyyah mujibah). Rumus: sebagian S adalah P. Some S are P. Disimbolkan dalam logika klasik dengan I.
• Proposisi partikular negatif (qadhiyyah juz’iyyah salibah). Rumus: sebagian S tidak P. Some S are not P. Disimbolkan dalam logika klasik dengan O.
• Proposisi universal negatif (qadhiyyah kulliyyah salibah). Rumus: Tidak ada S yang adalah P. No S are P. Disimbolkan dalam logika klasik dengan E.

Dalam logika klasik yang berkembang di dunia Latin Eropa abad pertengahan, keempat proposisi itu direkam dalam jembatan keledai yang berbunyi: ArIstOtEles. A dan I adalah proposisi positif, sedang O dan E adalah proposisi negatif, dengan tiap ujung dari urutan itu (A dan E) adalah proposisi universal, sedangkan dua di tengah adalah partikular. Ini akan membantu ingatan ketika membahas jenis-jenis proposisi atributif yang ekuivalen dan terlebih lagi nanti saat menentukan jenis-jenis silogisme yang valid.

***

Dalam bab mantiq tentang proposisi (qadhiyyah) ada bahasan tentang konversi ekuivalen (al-‘aks al-mustawi), yakni kondisi ketika susunan subjek-predikat dibalik, tetapi tetap mempertahankan bentuk afirmatif/negatifnya dan dengan nilai kebenaran yang sama.

Misalnya, proposisi ‘semua kuda adalah hewan’, bila dibalik susunan subjek-predikatnya, akan menjadi ‘semua hewan adalah kuda’. Namun, ini salah. Konversinya akan benar jika berbunyi ‘sebagian hewan adalah kuda’. Dengan demikian, konversi ekuivalen dari proposisi universal afirmatif (A) adalah partikular afirmatif (I).

Proposisi ‘semua manusia bukan batu’ bila dibalik susunan subjek-predikatnya menjadi ‘semua batu bukan hewan’. Ini sudah benar. Jadi, konversi ekuivalen dari proposisi universal negatif (E) adalah proposisi universal negatif (E).

Proposisi ‘sebagian manusia bukan orang Indonesia’ bila dibalik susunan subjek-predikatnya menjadi ‘sebagian orang Indonesia bukan manusia’. Ini salah. Bila diubah jadi positif menjadi ‘sebagian orang Indonesia adalah manusia’, juga masih salah. Dengan demikian, proposisi partikular negatif (O) tidak memiliki konversi ekuivalen.

Dalam mantiq ada juga bahasan tentang kontraposisi (‘aks an-naqidh), yakni membalik subjek-predikatnya, ditambah dengan menegasikan masing-masing subjek dan predikat itu, dan dengan tetap mempertahankan nilai kebenarannya. Jadi, beda kontraposisi dari konversi ekuivalen (al-‘aks mustawi) ialah: dalam konversi ekuivalen, kondisi afirmatif/negatif dari proposisi awal tetap dipertahankan; dalam kontraposisi, tidak.

Proposisi ‘semua kuda adalah hewan’, misalnya, bila dibalik subjek-predikatnya dan kemudian masing-masing dinegasikan, akan menjadi ‘semua yang bukan hewan bukanlah kuda’. Nilai kebenaran dalam perubahan ini tetap sama dan karenanya bisa disebut kontraposisi. Di luar proposisi universal afirmatif (A), tidak ada yang memiliki kontraposisi—semoga Anda bisa mengutak-atiknya sendiri untuk mengecek.

Kontraposisi tidak hanya berlaku pada proposisi atributif, melainkan juga proposisi kondisional. Namun, aturannya berbeda dalam satu hal: bila dalam proposisi atributif, yang dibalik adalah subjek-predikatnya, dalam proposisi kondisional yang dibalik adalah anteseden dan konsekuennya (muqaddam dan tali-nya). Di luar ini, aturan lain sama: masing-masing dinegasikan dengan tetap mempertahankan nilai kebenaran.

Kontraposisi dari proposisi ‘jika matahari tenggelam, hari sedang malam’ adalah ‘jika hari bukan malam, matahari tidak tenggelam’. Kedua proposisi ini bernilai sama-sama benar. Dengan logika modern, ‘matahari tenggelam’ bisa kita simbolkan dengan ‘p’, dan ‘hari sedang malam’ kita simbolkan dengan ‘q’. Dari sini kita bisa tahu bahwa rumus p → q (jika p maka q) berkontraposisi dengan ¬q → ¬p (jika bukan q maka bukan p).

Kita bisa menggabungkan rumus terakhir ini dengan rumus dalam bahasan disjungsi di atas. Disjungsi p ∨ q (p atau q) bernilai sama dengan ¬p → q (jika bukan p maka q). Ini bisa kita rumuskan ulang menjadi p → q = ¬p ∨ q. Dengan menambahkan kontraposisinya, kita memperoleh persamaan: p → q = ¬p ∨ q = ¬q → ¬p.

Rumus itu bisa kita pakai untuk semua proposisi kondisional (hubungan implikasi); bisa kita bolak-balik, tapi jangan lupa untuk memperhatikan letak negasinya. Ambil contoh: ‘jika tidak ada Pencipta, alam semesta tidak bermula’. Ini sama dengan disjungsi ‘ada Pencipta atau alam semesta tidak bermula’. Juga sama dengan ‘jika alam semesta bermula, ada Pencipta’.

Dalam mantiq, bab tentang proposisi masih menyisakan satu bahasan lagi, yaitu kontradiksi (tanaqudh). Bahasan ini menguraikan apa saja syarat-syarat yang harus terpenuhi agar dua proposisi bisa kita nyatakan bertentangan. Bahasan tentang kontradiksi ini akan diuraikan dalam catatan mantiq pekan depan, insyaallah.